голодать, обходиться без средств
Работы нет, придётся класть зубы на полку.
Зубьями звали не только свои, но и зубцы гребня, которым чесали лён, и зубья пилы. Нет работы — кладут снасть на полку, а сами сидят голодные. Объяснение распространённое, но не единственное.
класть — Помещать что-то куда-то, укладывать.