[самостоя́тельно]
1. Своими силами, без чужой помощи.
Решил задачу самостоятельно.
Из «сам» и «стоять»: самостоятельный — буквально «стоящий сам», без подпорок. Того же корня «стан», «постоянный», «состояние».
Ребёнок оделся самостоятельно.
Образ в слове точный и телесный: самостоятельный тот, кто держится на своих ногах. Тот же ход в обороте «встать на ноги» — про человека, который начал справляться сам.